其实“不动点”是一个非常有意思的概念,现在高考题一般不会涉及,但是我现在写的东西比较随心所欲~

这篇文章和竞赛书上的内容相比,介绍的东西相对比较简单。

一、不动点的概念与性质

对于函数 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29) ,若存在实数 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0) ,使得 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x_0%29%3Dx_0) ,则称 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dx_0) 是函数 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29) 的(一阶)不动点。

同样地,若 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28f%28x_0%29%29%3Dx_0) ,则称 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dx_0) 是函数 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29) 的二阶不动点。容易发现,对于一阶不动点 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3Dx_0) ,有 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28f%28x_0%29%29%3Df%28x_0%29%3Dx_0) ,因此一阶不动点必然是二阶不动点。

在几何上,曲线 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Df%28x%29) 与曲线 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dx) 的交点的横坐标即为函数 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29) 的不动点。

一般地,数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D) 的递推式可以由公式 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%2B1%7D%3Df%28x_n%29) 给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D) ,若其递推式为 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%2B1%7D%3Df%28x_n%29) ,且存在实数 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0) ,使得 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x_0%29%3Dx_0) ,则称 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0) 是数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D) 的不动点。

数列的不动点有什么性质呢?若从某一项 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_k) 开始,数列的取值即为 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0) ,也即 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_k%3Dx_0) ,则 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bk%2B1%7D%3Df%28x_k%29%3Df%28x_0%29%3Dx_0) , ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bk%2B2%7D%3Df%28x_%7Bk%2B1%7D%29%3Df%28x_0%29%3Dx_0) ,以此类推,根据数学归纳法,可以得到当 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cgeq+k) 时, ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_n%3Dx_0) ,也即数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D) 在 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=k) 之后“不动”了。

有时候,数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D) 中的值可能无法取到 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0) ,但是会“接近” ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0) ,也即收敛于 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0) 。所谓“收敛”是指当 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=n) 充分大时,数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D) 趋向于某个值 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x) ,也即 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bn+%5Crightarrow+%5Cinfty%7D%7Bx_n%7D%3Dx) ,代入递推式即可得到 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dx) 。

值得注意的是,不动点也可能不存在(或者说为复数)。 文章的最后将会给出一个非常有意思的例子。

二、一阶线性递推数列

所谓“一阶线性递推数列”非常常见,是指下面的这种数列:若数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D) 满足 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%2B1%7D%3Dpx_n%2Bq) ,其中 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=p) , ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=q) 是给定的实数,求数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D) 的通项公式。

一般来说,当 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=p%3D1) 时,原数列即为公差为 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=q) 的等差数列,故 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_n%3Dx_1%2B%28n-1%29%5Ccdot+q) 。

当 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=p%5Cne1) 时,我们可以通过待定系数法构造一个公比为 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=p) 的等比数列:假设存在实数 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0) ,使得 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%2B1%7D-x_0%3Dp%5Ccdot%28x_n-x_0%29) ,展开得到 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%281-p%29%5Ccdot+x_0%3Dq) ,解得 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0%3D%5Cfrac%7Bq%7D%7B1-p%7D) 。

因此数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bx_n-%5Cfrac%7Bq%7D%7B1-p%7D%5C%7D) 是等比数列,累乘得 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_n-%5Cfrac%7Bq%7D%7B1-p%7D%3Dp%5E%7Bn-1%7D%5Ccdot%28x_1-%5Cfrac%7Bq%7D%7B1-p%7D%29) ,移项后即可得到通项公式为 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_n%3D%5Cfrac%7Bq%7D%7B1-p%7D%2Bp%5E%7Bn-1%7D%5Ccdot%28x_1-%5Cfrac%7Bq%7D%7B1-p%7D%29) ,其中 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=p%5Cne+1) 。

事实上,上面得到的 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0) 非常特殊:可以发现 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0) 满足方程 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0%3Dpx_0%2Bq) ,也即 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0) 是数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D) 的不动点。这便可以给我们启发:形如 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%2B1%7D%3Dpx_n%2Bq) 的递推数列,在处理的时候可以分以下两种情况:

(1) ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=p%5Cne+1) ,可以求出它的不动点 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0) ,之后 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bx-x_0%5C%7D) 为等比数列;

(2) ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=p%3D1) ,此时不动点不存在, ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D) 是等差数列。

并且由上面的例子得到启发,在数列的递推式两边减去不动点,可以得到较为特殊的结构。

接下来来看一个比较简单的例子:

例1 设数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 满足 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_1%3D1) , ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%3D2a_n%2B1) ,求数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 的通项公式。

令 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2x%2B1) ,解得不动点 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D-1) ,因此变形得到 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%2B1%3D2a_n%2B2%3D2%28a_n%2B1%29) 。

也即 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%2B1%5C%7D) 是等比数列,且 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_1%2B1%3D2) ,累乘得 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%2B1%3D2%5En) ,因此 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%3D2%5En-1) 。

由此看来,不动点法虽然可以说是“花里胡哨”的方法,但是在解决问题时比待定系数法直接得多。

三、分式递推数列

接下来我们来看分式递推数列,这也是不动点法主要应用的范围。所谓分式递推数列是指以下类型:若数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D) 满足 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7Bax_n%2Bb%7D%7Bcx_n%2Bd%7D) ,其中 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a) , ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=b) , ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=c) , ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=d) 是给定的实数,求数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Bx_n%5C%7D) 的通项公式。

这时候要求它的不动点,考虑方程 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7Bax%2Bb%7D%7Bcx%2Bd%7D%5CLeftrightarrow+cx%5E2%2B%28d-a%29x-b%3D0) ,得到了一个二次方程!情况就比上面的题目复杂得多了。我们从几个例子出发:

例2 设数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 满足 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_1%3D2) , ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B5a_n-1%7D%7Ba_n%2B3%7D) ,求数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 的通项公式。

考虑方程 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B5x-1%7D%7Bx%2B3%7D%5CLeftrightarrow+%28x-1%29%5E2%3D0) ,故 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=1) 是数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 的不动点,根据上面的思路,尝试在递推式两边同时减去 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=1) ,得到 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D-1%3D%5Cfrac%7B5a_n-1%7D%7Ba_n%2B3%7D-1%3D%5Cfrac%7B4%28a_n-1%29%7D%7Ba_n%2B3%7D) 。

注意到左右两边分别出现了 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D-1) 和 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_n-1) 这样相似的结构,并且都是在分母,我们可以尝试构造新数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n-1%5C%7D) ,当然也可以直接变形:

![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D-1%3D%5Cfrac%7B4%28a_n-1%29%7D%7Ba_n%2B3%7D%5CLeftrightarrow%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D-1%7D%3D%5Cfrac%7Ba_n%2B3%7D%7B4%28a_n-1%29%7D%3D%5Cfrac%7Ba_n-1%2B4%7D%7B4%28a_n-1%29%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n-1%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D)

也即 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D-1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n-1%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D) ,因此数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n-1%7D%5C%7D) 是首项为 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=1) ,公差为 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D) 的等差数列,累加得 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n-1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Ccdot%28n%2B3%29) ,因此 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%3D%5Cfrac%7B4%7D%7Bn%2B3%7D%2B1%3D%5Cfrac%7Bn%2B7%7D%7Bn%2B3%7D) 。

例3 设数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 满足 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_1%3D3) , ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B4a_n-2%7D%7Ba_n%2B1%7D) ,求数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 的通项公式。

同样地,考虑方程 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B4x-2%7D%7Bx%2B1%7D%3Dx%5CLeftrightarrow%28x-1%29%28x-2%29%3D0) ,这时候数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 有两个不动点 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=1) 和 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=2) ,分别在递推式两边减去 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=1) 和 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=2) 后,可以得到:

![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D-1%3D%5Cfrac%7B4a_n-2%7D%7Ba_n%2B1%7D-1%3D%5Cfrac%7B3%28a_n-1%29%7D%7Ba_n%2B1%7D) , ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D-2%3D%5Cfrac%7B4a_n-2%7D%7Ba_n%2B1%7D-2%3D%5Cfrac%7B2%28a_n-2%29%7D%7Ba_n%2B1%7D) 。

两式相除得 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D-1%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D-2%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7Ba_n-1%7D%7Ba_n-2%7D) ,因此数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B%5Cfrac%7Ba_n-1%7D%7Ba_n-2%7D%5C%7D) 是首项为 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=2) ,公比为 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D) 的等比数列,累乘得 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba_n-1%7D%7Ba_n-2%7D%3D2%5Ccdot%28%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%29%5E%7Bn-1%7D) ,因此 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%3D%5Cfrac%7B8%5Ccdot3%5En-3%5Ccdot2%5En%7D%7B4%5Ccdot3%5En-3%5Ccdot2%5En%7D) 。

做一个小小的总结:形如 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7Bax_n%2Bb%7D%7Bcx_n%2Bd%7D) 的递推数列,处理时也可以分两种情况:

(1)若其有一个不动点 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x_0) ,则 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-x_0%7D%5C%7D) 是等差数列;

(2)若其有两个不动点 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha) , ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbeta) ,则 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B%5Cfrac%7Bx_n-%5Calpha%7D%7Bx_n-%5Cbeta%7D%5C%7D) 是等比数列。

当然,分式递推数列不只有上面那种简单的情况,可以看下面这个例子:

例4 设数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 满足 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_1%3D2) , ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%28a_n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n%7D%29) ,求数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 的通项公式。

事实上, ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%28a_n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n%7D%29%3D%5Cfrac%7Ba_n%5E2%2B1%7D%7B2a_n%7D) ,这不同于上面的类型,但是否可以用同样的方法处理呢?

同样尝试求它的不动点: ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%28x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%29%5CLeftrightarrow+%28x-1%29%28x%2B1%29%3D0) ,因此 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=1) 和 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=-1) 是数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 的两个不动点,变形得到:

![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D-1%3D%5Cfrac%7Ba_n%5E2%2B1%7D%7B2a_n%7D-1%3D%5Cfrac%7B%28a_n-1%29%5E2%7D%7B2a_n%7D) ,![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%2B1%3D%5Cfrac%7Ba_n%5E2%2B1%7D%7B2a_n%7D%2B1%3D%5Cfrac%7B%28a_n%2B1%29%5E2%7D%7B2a_n%7D) 。

两式相除得 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D%2B1%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D-1%7D%3D%28%5Cfrac%7Ba_n%2B1%7D%7Ba_n-1%7D%29%5E2) ,又 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba_1%2B1%7D%7Ba_1-1%7D%3D3) ,迭代得到 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D%2B1%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D-1%7D%3D3%5E%7B2%5En%7D) ,由此解得数列的通项公式 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%3D%5Cfrac%7B3%5E%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D%2B1%7D%7B3%5E%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D-1%7D) 。

由此看来,对于比较复杂的分式型递推数列,也可以通过减去不动点来进行代数变形,从而使等式的两边出现类似的结构,更易于处理。

四、没有不动点的情况?

其实我觉得吧,这里才是这篇文章比较精彩的地方。这就是我在开头讲的,比较有意思的不动点不存在的情况。

例5 设数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 满足 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_1%3D2) , ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%28a_n-%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n%7D%29) ,求数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 的通项公式。

考虑方程 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%28x-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%29%5CLeftrightarrow+x%5E2%2B1%3D0) ,这时候数列的不动点不存在!

但将不动点扩展到复数域内,可以得到 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=i) 与 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=-i) 是数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 的两个不动点,接下来根据复数的四则运算,我们看看能得到上面结果:

![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D-i%3D%5Cfrac%7Ba_n%5E2-1%7D%7B2a_n%7D-i%3D%5Cfrac%7Ba_n%5E2-2ia_n-1%7D%7B2a_n%7D%3D%5Cfrac%7B%28a_n-i%29%5E2%7D%7B2a_n%7D) ,![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%2Bi%3D%5Cfrac%7Ba_n%5E2-1%7D%7B2a_n%7D%2Bi%3D%5Cfrac%7Ba_n%5E2%2B2ia_n-1%7D%7B2a_n%7D%3D%5Cfrac%7B%28a_n%2Bi%29%5E2%7D%7B2a_n%7D) 。

两式相除得 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D%2Bi%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D-i%7D%3D%28%5Cfrac%7Ba_n%2Bi%7D%7Ba_n-i%7D%29%5E2) ,又 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba_1%2Bi%7D%7Ba_1-i%7D%3D%5Cfrac%7B2%2Bi%7D%7B2-i%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7Di) ,迭代得 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Ba_%7Bn%2B1%7D%2Bi%7D%7Ba_%7Bn%2B1%7D-i%7D%3D%28%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7Di%29%5E%7B2%5En%7D) ,由此解得 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%3Di%5Ccdot%5Cfrac%7B%283%2B4i%29%5E%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D%2B5%5E%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D%7D%7B%283%2B4i%29%5E%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D-5%5E%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D%7D) ,并且根据上面的递推公式可以知道,数列的通项公式虽然由复数给出,但是每一项都是实数。

当然,这道题目还有一种比较漂亮的做法:注意到 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctan+2%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B2%5Ctan%5Ctheta%7D%7B1-%5Ctan%5E2%5Ctheta%7D) ,根据 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccot%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ctan%5Ctheta%7D) 变形即可得到 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccot2%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%28%5Ccot%5Ctheta-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccot%5Ctheta%7D%29) 。

因此作换元 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%3D%5Ccot+%5Ctheta_n) ,整理得到 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta_%7Bn%2B1%7D%3D2%5Ctheta_n) ,因此 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B%5Ctheta_n%5C%7D) 是等比数列,又根据 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_1%3D2) 得到![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta_1%3D%5Carctan%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D) ,故 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta_n%3D%5Carctan%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot2%5E%7Bn-1%7D) ,因此 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_n%3D%5Ccot%28%5Carctan%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot2%5E%7Bn-1%7D%29) 。

通过这个例子也可以看出“三角复数不分家”。

@寒蝉凄切

提醒,当不动点是复数的时候,数列必定是周期数列,例如上面的这个例子。

说到这个,才想起一个新的例子:

例6 设数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 满足 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D) , ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%2Ba_n%7D%7B1-a_n%7D) ,求数列 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7Ba_n%5C%7D) 的通项公式。

其中 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%2Ba_n%7D%7B1-a_n%7D%3D%5Cfrac%7B1%2B%5Cdfrac%7B1%2Ba_%7Bn-1%7D%7D%7B1-a_%7Bn-1%7D%7D%7D%7B1-%5Cdfrac%7B1%2Ba_%7Bn-1%7D%7D%7B1-a_%7Bn-1%7D%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_%7Bn-1%7D%7D%3Da_%7Bn-3%7D) ,因此数列以 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=4) 为周期。

考虑方程 ![[公式]](https://www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B1%2Bx%7D%7B1-x%7D%5CLeftrightarrow+x%5E2%2B1%3D0) ,此时数列也没有不动点(或者说不动点为复数)。

转自【数列】浅谈“不动点”求数列通项的方法 - 知乎 (zhihu.com)
最后修改:2021 年 12 月 31 日
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